tiistai 30. elokuuta 2022

Mukaan tarttuneita matemaattisia pulmia


Matemaattiset anekdootit tuottavat usein silmiä aukaisevia havaintoja. Ne pakottavat ihmisen katselemaan ikään kuin uudella tavalla, tajuamaan mikä on olennaista ja mikä merkityksetöntä kohinaa. Tässä muutama vuosikymmenien saatossa mieleen jääneistä. Aloitan jutulla jonka luin 60-luvulla, ja jonka jotkut entiset oppilaat saattavat muistaa.

Lasten ikä

Vanhat luokkatoverit tapasivat toisensa pitkästä aikaa. Toinen alkoi kysellä mahdollisista lapsista.

"Onhan niitä tullut jo kolme kappaletta", tuttava kertoi.

"Minkä ikäisiä he ovat?"

"Sanotaanko niin, että heidän ikiensä summa on sama kuin talomme numero, senhän varmaan muistatkin. Heidän ikiensä tulo on 36."

"En pysty näillä tiedoilla ratkaisemaan lastesi ikiä", toinen harmitteli.

"Ai niin, unohdin kertoa, että vanhin lapsista soittaa pianoa!"

"No sittenpä tiedän lastesi iät!"

Niin, minkä ikäisiä nämä kolme lasta olivat?

Merkilliset hissit

Työtoverit Abel ja Ben asuivat toimitalonsa eri kerroksissa. Abelin työhuone oli toisessa kerroksessa, Benin kuudennessa, joten miehet joutuivat tämän tästä käyttämään hissiä.

Abel sanoi: "Merkillinen juttu, mutta kun painan hissin nappulaa, hissi tulee useimmiten ylhäältä. Keskimäärin viisi tulee ylhäältä, mutta vain yksi alhaalta. Onko teillä katolla hissitehdas, joka lähettää hissejä kellarivarastoon?"

Ben vastasi: "Minäkin olen havainnut saman ilmiön. Mutta minun mielestäni viisi hisseistä tulee alhaalta, vain yksi ylhäältä! Siellä kellarissa sen hissitehtaan täytyy olla, ja varmaan ne hissit rahdataan sitten helikoptereilla pois!"

Kysyn kuitenkin, että minkä korkuinen kaverien toimitalo on?

Humalainen soutamassa

Mittaustieteestä kiinnostunut joutomies tarkkaili joen rannalla, kun hyvin tuttu väkevistä juomista innostunut soutaja eteni vastavirtaan, puolitäysi viskipullo takatuhdolla. Rivakasti mies soutikin, peräti 50 senttimetriä sekunnissa. Onneksi joki oli laiska, sen virtausnopeus oli vain 2 senttimetriä sekunnissa. Joen yli kulki silta, ja soutaja joutui kumartumaan sen alta. Pahaksi onneksi vene heilahti, ja pullo putosi veteen ja alkoi hitaasti lipua veden mukana. Soutaja kun oli vähän viskissä, hän huomasi vasta viiden minuutin kuluttua pullon kadonneen alajuoksulle. Hän käänsi veneen, ja alkoi soutaa pulloaan kiinni. Humalainen kun oli, soutaja jatkoi samalla tahdilla järkähtämättä takaisin päinkin, ja mittaileva joutomies huomasi että veneen nopeus oli hiukan noussut.

Kuinka kauan kesti, ennenkuin humalainen tavoitti rakkaan pullonsa?

Ikkunan puolikas

Tämä on Lewis Carrollin kertoma tehtävä, hänen joka kirjoitti Liisan seikkailuista ihmemaassa.

Hienossa huvilassa oli huone, jossa oli vain yksi ikkuna, neliön muotoinen. Huvilanrouvan mielestä se ikkuna oli aivan liian suuri, ja hän määräsi talonmiehen pienentämään ikkunaa puolta pienemmäksi. Mutta jostain syystä rouva kuitenkin ehdottomasti halusi, että ikkunan korkeutta ja leveyttä ei muuteta, eikä sen muotoakaan. 

"Mahdotontahan  tämä on!", parahti talonmies.

Mutta onko?

Yhdestä sataan

Tämä tapahtui Helsingin Yhtenäiskoulussa 60-luvun lopulla. Minulla oli vähän "muita töitä", ja annoinkin oppilaille tehtäväksi laskea yhteen kaikki luvut yhdestä sataan.

Kului muutama minuutti, ja eräs pojista, vakavasti liikuntarajoittunut kaveri toi valmiin tuloksen. Muut ihmettelivät, joku oli juuri vasta kuutosessa. Nuori nero ilmoitti juhlallisesti että hän oli käyttänyt "kuuluisan saksalaisen matemaatikon Carl Friedrich Gaussin menetelmää". Poika pahus ei päässyt liikkumaan, mutta lukea hän osasi loisteliaasti. Ja hän oli sitten lukenut saman kuin minäkin joskus nuorena. Ja todellakin, tämähän on pelkkä päässälasku!

Mutta miten tuleva matematiikan professori alaluokkalaisena tämän ratkaisi?


perjantai 5. elokuuta 2022

Prosessi pyörii unessakin...


 





Pari viikkoa sitten lähdin unissani kehittelemään uutta 12-sävelistä nuottiriviä. Siitä tuntui tulevan sen verran käyttökelpoinen, että heräsin, ja kirjoitin rivin muistiin illalla lukemani lehden reunaan. Aamulla huomasin että siitä tosiaan tulisi kappale, ja aloin työstää sitä. Viikon päästä se olikin valmiina, ja lähti kustantajalle.



 






Unen ja valvetilan ero näyttää olevan joskus varsin häilyvä. Prosessi on käynnissä koko ajan, ja vain silloin tällöin havaitsee kaoottisesta aivotoiminnasta havaittavia merkkejä, joitakin musiikinrepaleita siellä, toisia täällä.

Juuri nyt olin taas hurskaasti unessa, ja minulle tuli äkkiä mieleen, että Wagnerin Tristan-oopperan lopun Isolden monologin sointukulkuhan on aivan selvästi muunnelma alkusoiton kuuluisista Tristan-soinnuista! Soitin peiton alla aivan hiljaa, jatkoin muunnelmien tekoa ja kirjoittelin muistiin äänenkuljetusta neljässä äänessä. Peiton alla oli ilmeisesti klaviatuuri, ja hyvin hiljaa soitin sen vuoksi että pieni poikani nukkui viereisessä vuoteessa.

Muunnelmia tuli toinen toisensa perästä, ja kaikki kuulosti aivan vallan mahtavalta. Kuulin poikani liikahtelevan, ja yritin soittaa vielä hiljemmin. Sitten poika nousi vuoteesta, tuli viereen, nieleskeli kyyneleitä ja sanoi: "Sinä soitat koko ajan... Minulta loppuu uniaika..." Sitten hän kiipesi ylitseni ja asettui viereen.

Minulle tuli huono omatunto.

Jälkeen päin tajusin, että niinhän minä olin elänyt koko sen ajan, kun poikani olivat pieniä... Vaikka olisin sattumalta ollut kotonakin, työ vei aina suurimman osan ajastani.

Prosessi pyörii yhä. Nyt viimeisessä vanhuudessa alkaa jo uniaika ja valveaika olemaan yhä tiiviimmin yhteydessä keskenään. Keskustelen Gesualdon, Wagnerin, Klamin ja Messiaenin kanssa, ja ihmettelen milloin he näyttäytyvät ihan elävän näköisinä olan takaa kurkistelemassa. Vanhuuden loppu on mielenkiintoista aikaa.

Kun nyt mainitsin näitä vanhoja ja minulle tärkeitä kollegakavereitani, kerron heidän töistään joitakin esimerkkejä. Niitä ovat esimerkiksi Gesualdon Moro lasson ensimmäiset tahdit, Wagnerin Tristan, Klamin Laulu Kuujärvestä, tai Messiaenin L'Ascension. Ihmeellistä musiikkia.

 

 

tiistai 19. heinäkuuta 2022

Marilaisia kansanlaulurunoja 2

(Marien kansanlaulutekstejä vapaasti suomeksi muotoileminani. Ahdingossa elävän sukulaiskansan laulusto on todellinen aarreaitta.)


Vesi vierii, ranta jää.

Lintu lentää, pesä jää.

Minä lähden, sinä jäät.

Näemmekö milloinkaan? 


Ikkunasi ohi kuljin,

näkeväni sinut toivoin.

Katsonut et kertaakaan,

Laulusikin vaikeni.


-


Kädessäni kaunis kukka,

toisessa on linssi kirkas.

Missä kulta, kukankaunis,

missä katse, lasinkirkas?


Yksi vain on liina mulla,

likainen se ainoani.

Yksi liina, likaliina,

Toista ei, on ainoani.


Yksi vain on kulta mulla,

mutta vihainen on kulta.

Yksi kulta, mutta tyly.

Toista ei, on ainoani.


-


Korkealla, korkealla villisorsat lentelevät.

Takaisin ei niitä saa, ei vehnänjyvin, herkkujyvin.


Kuudentoista ikäiseksi tyttö ei voi nuorentua,

vaikka hälle kuinka usein nisupullat syötteleisi.


Korkealla, korkealla villihanhet lentelevät.

Palannut ei mikään niistä, houkuta ei rukiinjyvät.


Kahdenkymmenen ja kahden ikään poika nuorentua

ei voi, vaikka ateriat rukiinleipäiset vain söisi.


-


 

Kedon kukkasia poimin,

liljan sinisen.


Varovasti kukan taitoin,

rintaan sidoin sen.


Neulan otin, jotta kukka

putoaisi ei.


Tuli hento tuulenhenkäys.

Kukkaseni vei.


-


Mistä kuuluu käen kukku, käen kukku kaukainen?

Kaukaa, kaukaa, lehvästöstä koivumetsän valkoisen.


Mistä kuuluu harmonikan riemusoitto kaukainen?

Kaukaa, kaukaa, keskuudesta poikajoukon iloisen.


Mistä kuuluu satakielen kaunis laulu kaukainen?

Kaukaa, kaukaa, puutarhasta, omenapuiden keskeltä.


Mistä kuuluu kanteleiden kaunis soitto kaukainen?

Kaukaa, kaukaa, keskuudesta neitojoukon suloisen.


-


Keskiyöllä kuljen hiljaa puutarhani hämärään.

Rakkaani on saapumassa kohta alle syreenein.

Satakieli laulaa jossain onnellista lauluaan.

Saavu, rakkain syreenien tuoksuun, saavuthan!


(Tämä teksti on sovitettu alkuperäisen laulun rytmiin. Jotta sen koko sisältö aukenisi, runoa olisi laajennettava. Ehkä teen sen joskus. Alkutekstin kirjoittajan nimi tiedetään, hän on vuorimarilainen G.Matyukovsky.)

lauantai 16. heinäkuuta 2022

Marilaisia kansanlaulurunoja 1

Marien (eli suomensukuisten tseremissien) lauluja olen sovittanut ja suomentanut parikymmentä, mutta László Vikárin ja Gábor Bereczkin vuonna 1971 julkaisemassa kokoelmassa Cheremis Folksongs lauluja on peräti 320. Koska näiden teksteissä on niin paljon tuoretta ja omintakeista kuvastoa, lähdin uudestaan niitä tutkimaan, nyt tekstien kannalta. Tässä muutamia vapaasti muotoiltuja näytteitä, lähteenä tuon suurenmoisen kokoelman englannin ja unkarinkieliset käännökset. Tekstien jälkeen olen liittänyt pari sovitustani äänitelinkkinä. 


Pyörii, pyörii, hurjasti pyörii,

tuulimylly pyörii kylämäen päällä.

Suru on ehättänyt jo sinne asti.


Pyörii, pyörii, vimmatusti pyörii

vesiratas pyörii kyläpuron luona.

Kyyneleet kuohuvat vetten halki.


-


Vuorelta laskeutuu, kapeaa polkua, 

alemmas kiirehtii nuorukainen,

laulaen laskeutuu, vihellellen poika,

kapeaa polkua laaksoa päin.


Mitenkä toisin vois vuorelta tulla,

mitenkä toisin kuin laulaen vain,

poika kun vuorelta laskeutuu 

kapeaa polkua laaksoa päin.


-


Aamulla varhain satakieli lauloi.

Joku minua kutsuu, äitikö se on?


Illalla käki jossain kukkui.

Joku minua kutsuu, isäkö se on?


-


Minne on lähtenyt äitini,

kunne kadonnut emoni?

Mennyt on kiviseen rantaan,

mansikoita poimimaan.


Jos on lähtenyt rantaan,

mansikoita poimimaan,

takaisin pian palanneekin

- entä jos palaakaan ei?


-


Vesi virtaa,

ranta jää.

Minä lähden,

sinä jäät.


-


Kultaseni, akkunasi avaa,

mansikoita sulle toin!

Katso tänne, mansikkaiset

kasvosi että nähdä voin!


Akkunasi, puutarhasi avaa,

kauniit omenasi poimisin!

Luokse tule, polvelleni istu,

sitten kanssasi leikkisin!


-


Isä, älä moiti minua,

äiti, älä tuomitse!

Kasvanut en rikkaan puutarhassa,

vesin minua ei kasteltu.


Veli, älä moiti minua,

sisko, älä tuomitse!

Minua ei tuuli tänne tuonut,

vesi ei minua kantanut.


-


Niityllä kuljin kultani kanssa,

kulta ei kättäni päästänyt.


Niinkuin siemen työntää juuren,

niin olet juurtunut sydämeen.


Käkönen kukkuu jossain täällä,

pesänsä rakentaa se kauas pois.


Minä olen täällä, täällä laulan,

kultani - poissa, kaukana on.


Tässä kaksi marilaista laulua Ritvalan Köörin esittämänä.

https://youtu.be/WCT9aA0fRqQ?list=RDWCT9aA0fRqQ

keskiviikko 22. kesäkuuta 2022

Iljettävä mieskatse

Suomen UN Women julistaa, että ”naisten kehot eivät ole olemassa miesten katsetta varten”. Päivittäin kuulen, että MIESKATSE on iljettävin ilmiö koko maailmankaikkeudessa.


Katson televisiosta naisten kolmiloikkaa, ja huomaan että jotenkin nolostun. Huomaan että kilpailijat ovat naisia, mutta ankarien julkisten paheksuntien jälkeen en oikeastaan uskaltaisi tai saisi kiinnittää huomiota heidän sukupuoleensa. Nämä kilpailijat ovat ihmisiä, ruotsiksi "hen", eivätkä sukupuoliolentoja! Monet julkimot kuvauttavat itseään vähissä vaatteissa, mutta opettelen siis olemaan muka huomaamatta heidän sukupuoltaan.


Tunnen joitakin naisia, jotka mieluiten käyttävät suomeakin puhuessaan ruotsalaista innovaatiota ”hen”, korostaakseen tasa-arvoisuuttaan. Kerran ehdotinkin sitten että jos sukupuolia ei ole, voimmekin mennä samaan saunavuoroon. ”Miehillä ei ole mitään tekemistä naisten saunavuorolle!”. Kuulin sitten myös että ”hen” on tarkoitettu oikeastaan vain naisten nimitykseksi. Eikä minulle tämän jälkeen puhuttu sanaakaan.


Samaan aikaan kun korostetaan sukupuolten olemattomuutta, sitä käsitellään yhä korostuneemmin.  Jo 90-luvulla huomasin, että kiivaimmat puhujat väittävät että jo se että mies tunnistaa vastaantulijan naiseksi osoittaa että hän on tuijottanut tämän vartalon yksityiskohtia. Näinpä miehen olisi parempi laskea katseensa maankamaran suuntaan, kunnes vastaantulija on mennyt ohitse.


Olen, paitsi mies, myös hyvin vanha mies. Useimmat kohtaamani naiset ovat minua nuorempia. Nyt astuu esiin uusi kynnyskysymys. Se että vanha mies katsoo tällä mieskatseellaan (eihän hänellä muutakaan ole!) nuorempaa naista, on vielä kaksinverran kuvottavampaa. Ehkä siitä pitäisi sitten päätellä, että nuoren ja ilmiselvästi mieskuntoisemman henkilön kohdalla ankarimmatkin naiset antavat armon mennä periaatteensa ohi. Ehkä heillä on jopa jokin piilevä tarkoitusperä mielessään?


Väkimäärän hurja kasvu maailmassa on ongelma. Ehkäpä tiedostavat naiset ovat itse asiassa aivan oikein oivaltaneet asian. Kyllä se liikaväestö tätä menoa on kohta muisto vain.

perjantai 10. kesäkuuta 2022

Ruma / Kaunis - tyhmää dikotomiaa




Jo kauan sitten ihmettelin taidearvostelijoiden tapaa jakaa musiikkia, maalauksia tai kirjoja asteikolle ”huono” —- ”hyvä”. Minusta taiteen vastaanottaminen olisi luontevinta asteikolla ”epäkiinnostava” —- ”kiinnostava”, tai ”välinpitämätön” — ”innostava”.


Ongelmana on se, että sekä ”huono” että ”hyvä” ovat molemmat ensin määriteltävä. Ja siinä määrittelyssä tulee välittömästi esiin jokin järjestelmä, jonka puitteissa tämä ”huonous” tai ”hyvyys” mitataan. ”Näin ei sovi / sopii tehdä!” ”Näin ei saa / saa tehdä!”. 


Vääjäämättä tämän tapainen arviointi liittyy totunnaiseen, tavanomaiseen ja säännönmukaiseen ajatteluun. Taiteen opettaja, taidelajista riippumatta, mittaa oppilaansa tuotosta jonkin järjestelmän mukaan. Häntä kiinnostavat helposti virheet ja niiden korjaaminen enemmän kuin itse ilmaisu, ja taidearvostelijan sankarityönä on usein näitten havaittujen virheiden paljastaminen.


Samanlainen ongelma on, jos otamme toisen vastakkaisparin ”ruma” — ”kaunis”. Ehkä olemme jo jotenkin määritellyt ”kauniin”, mutta myös ”ruma” vaatii määrittelyn. Onko niin, että ”kaunis” = ”ei-ruma”? Onko ”melko kaunis” = ”hiukan ruma”? Onko niin, että jos jokin on ”melko kaunis”, siihen on sekaantunut jotain joka on ”hiukan rumaa”. Mitä se olisi? 


Vai olisiko niin, että se mitä olemme määritelleet ”kauniiksi”, sisältää tietyn suurehkon määrän ”kauneutta”, ja jokin ”melko kaunis” yksinkertaisesti sisältää tätä ”kauneutta” hiukan vähemmän?


Vasarasta tai koneesta voimme sanoa, että se on ”huono”, jos sillä on vaikea vasaroida tai jos kone ei toimi. Mutta taideteoksen kohdalla tämä jako on mieltä vailla. Joko taiteellinen tuotos herättää vähän, kohtalaisesti tai suurta vastakaikua. Siinä mielessä dikotomia ”Hyvä / Huono” ei ole validi.


Sen sijaan dikotomiaksi mielletty ”Ruma / Kaunis” on kokonaan epäpätevä, ei ollenkaan validi. ”Kauneutta” on havaitsijan kannalta vaihteleva määrä, ja se riippuu sekä havaitsijasta itsestään että ”kauneuden” ominaisuuksista. Jokin on kovasti "kaunis", jokin on jossain määrin "kaunis". Koska myös ”ruma” on ensin määriteltävä, sillä on havaitsijan kannalta sama olemus, ”rumaa” voi olla vaihteleva määrä, eikä sen määrä ole ”kauniin” osalta olennaista.


Samahan se on mustan, harmaan ja valkoisen kanssa. Mustuutta valkoisessa on 0%, mustassa 100%, ja harmaassa siltä väliltä! Mutta violetissa värissä on vaihteleva määrä sekä sinistä että punaista.

torstai 9. kesäkuuta 2022

SULO - Yrjö Hirnin estetiikkaa


Palasin pitkästä aikaan lukemaan Yrjö Hirnin (1870-1952) maineikasta teosta ”Esteettinen elämä” (Det estetiska lifvet 1913). Äitini oli muinoin opiskelujensa yhteydessä alleviivannut huolellisesti tärkeitä pitämiään kohtia.

Hirn oli omana aikanaan merkittävä kirjoittaja, joka kauneuden ohella tutki jopa lasten leikkimistä, jota aikoinaan ei juuri arvattu mielenkiintoiseksi kohteeksi psykologian, evoluutioteorian tai sosiologian tutkimukseen (Barnlek 1916). Monien mielestä Hirnin tärkein kansainvälisesti merkittävin teos on The Origins of Art (London 1900), jossa hän sen aikaisen tiedon pohjalla etsi taiteen ja kauneuden juuria.

Nykypäivän kirjoittajat kuittaavat Hirnin kirjoitukset yleensä enemmän tai vähemmän vanhentuneiksi, ylpeilipä muuan professori hankkineensa erään tutkija Beardsleyn teoksen ensi sijassa siksi, että Hirnin nimeä ei näkynyt hakemistossa. 

Tämä tieteellisen vanhentuneisuuden ajatus on mielenkiintoinen. Olemmehan tottuneet siihen, että niinkutsuttujen kovien tieteitten tulokset helposti vanhentuvat. Newtonin fysiikka on enää yksi erikoistapaus maailmankaikkeudessa, ja 1700-luvun kemia ei juurikaan riitä selittämään fullereeneja tai DNA:ta. 

Mutta estetiikan tai yleensäkin filosofian puolella jopa Platon, Aristoteles, Tuomas Akvinolainen, Kant tai Goethe ovat enemmän tai vähemmän valideja tänäänkin. Humanistisilla aloilla ja erityisesti estetiikassa tutkijat ensin valitsevat valtavasta määrästä ilmiöitä, ja luokittelevat, kuvailevat ja järjestävät niitä erityisen käsitteistön avulla. Riippuen tutkijasta tämä terminologia saattaa olla sisällöltään vähän erilainen, se voi painottua vähän siihen tai tähän suuntaan, ja siitähän sitten ankara akateeminen väittely saa sytykkeitä. Joillakin tutkijoilla saattaa olla poliittisia tai henkilökohtaisia viehtymyksiä, ja erilaiset taidesodat vaikuttavat moninaisin sosiaalisin tavoin.

Jotkut auktoriteetit kiistävät jopa itse kauneuden merkityksen taiteen etevyyden tai merkittävyyden osalta. Koko käsite ’kauneus’ onkin sikäli hankala, että sitä voidaan käyttää kovin monella tavalla. Siihen voidaan liittää monenlaisia täsmennyksiä, kuten miellyttävä, symmetrinen, tarkoituksenmukainen, ylevä, tasapainoinen, jopa näppärä.

Luonnon kauneus, kasvit, kukinnot, eliöt ovat usein ilmiselvästi tätä kauneutta. Niissä on matemaattisia ja geometrisia ominaisuuksia, jotka ovat samaa juurta niin pienissä kuin suurissa ilmiöissä. Mutta jos määrittelemme niitä jonkin ominaisuuden kautta, huomaamme että määrittely jää vajaaksi. Voimme ehdottaa, että symmetria on kauneuden perusominaisuus, mutta kohtsillään löydämmekin kauneutta jossa symmetriaa ei esiinny. Kaikki määritelmät ovat vajaita, kaikissa on poikkeuksensa.

Palaan Hirnin teokseen. Hän kirjoitti omat lukunsa mm. käsitteistä ”kaunis”, ”sulo ja arvokkuus”, sekä ”ylevä”. Tämä ”sulo” on nykykorville hiukan hupaisa ilmaus, mutta Hirnin tekstissä on kyllä omaa merkittävää sulokkuutta. Näin hän kuvaa suloa (behag, grace, Anmut, Grazie):

Kaunis, tämän sanan rajoitetussa merkityksessä, ei voi luontonsa mukaisesti milloinkaan olla ylevää eikä traagillista eikä koomillista, mutta se ei ole todellisesti kaunista, ellei siihen samalla liity jonkinlaista vapautta ja kepeyttä […].

[…] Onhan epäämätöntä, että sulokkuus on meitä ja aistimaailmaamme lähempänä kuin ihanne-esteettinen. Ei käy myöskään kieltäminen, että sulon ilmaukset ovat helposti havaittavissamme ja että ne tulevat vastaamme kokonaan toisella tavalla kuin ihanne-esteettiset ilmaukset.

Die Schöne bleibt sich selber selig;

Die Anmuth macht unwiderstehlich.

(”Kaunis pysyy omalle itselleen autuaana; sulo tekee vastustamattomaksi”. Goethe: Faust) 

Hirn siteeraa Herbert Spencerin tutkielmaa On gracefulness:

Liikkeiden sulo merkitsee […] liikkeitä, jotka suoritetaan lihasvoimaa säästellen; muotojen sulo merkitsee muotoja, jotka tekevät sellaisen säästämisen mahdolliseksi; asentojen sulo merkitsee asentoja, joissa voidaan pysyä tätä säästämistä noudattaen; ja esineiden sulo merkitsee esineitä jotka ovat tavalla tai toisella näiden asentojen tai muotojen kaltaisia.

Tämähän muistuttaa hiukan jopa judon tapaisten kamppailumenetelmien kuvausta, joita me ehkä emme välttämättä yhdistä varsinaisen kauneuden kokemuksiin. Mutta selvästi voimme sanoa kauniiksi monien eläimien liikuntaa, jossa sekä tarkoituksenmukaisuus että voimien säästäminen on olennaista. Nämä kokemukset on sitten mahdollista laajentaa ja yleistää monin tavoin, aina erilaisten taiteellisten ilmiöiden alueille asti.

Hirnin ja monien muiden estetiikasta kirjoittaneiden teksteistä löytää, jos ei nyt aivan kauneuden salaista kaavaa, niin ainakin hyviä kuvauksia kauneuden monista ilmenemismuodoista. Jos nämä teksti eivät välttämättä ole ankarinta tiedettä, ne ovat parhaimmillaan hienoa esseistiikkaa.